New PDF release: Algebra I

By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

ISBN-10: 3540035613

ISBN-13: 9783540035619

ISBN-10: 3642960448

ISBN-13: 9783642960444

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Das Nullideal (0) ist immer Hauptideal; das Einheitsideal 0 ist es auch, falls 0 ein Einheitselement e besitzt, es ist dann namlich 0 = (e). In nicht kommutativen Ringen muB man zwischen Links- und Rechts-Hauptidealen unterscheiden. Das von a erzeugte RechtsHauptideal besteht aus allen Summen ar + na. 4. Das von mehreren Elementen al, ... , an erzeugte Linksideal kann ebenso definiert werden als Gesamtheit aller Summen der Gestalt oder als Durchschnitt aller Linksideale von 0, welche die Elemente al, ...

1. Man zeige, daB man im Ring der ganzen Zahlen die Restklassen nach einem Ideal (m) (m > 0) durch die Zahlen 0,1, •.. , m - 1 reprasentieren, also mit $fo, Sh, ... , $fm-l bezeichnen kann. 2. Welches Ideal erzeugen die Zahlen 10 und 13 zusammen im Ring der ganzen Zahlen ? 3. Was heiBt a == b(O)? 4. Aile Vielfachen ra eines Elements a bilden ein Linksideal oa. Hauptideal (a) iibereinstimmt. Die zweiseitigen Ideale stehen in derselben Beziehung zum Begriff der Ringhomomorphie wie die Normalteiler zu dem der Gruppenhomomorphie.

Inhomogene Polynome lassen sich (eindeutig) als Summen von homogenen Bestandteilen verschiedenen Grades schreiben. Multipliziert man zwei solche Polynome f, g von den Gradzahlen m, n, so ist das Produkt der homogenen Bestandteile hOchsten Grades, im Fall eines Integritatsbereichs ffi, eine nichtverschwindende Form vom Grade m + n. Alle iibrigen Bestandteile von f· g haben niedrigeren Grad; daher ist der Grad von f . g wieder m + n. Der obige Gradsatz ("Zusatz") gilt demnach auch fUr Polynome in beliebig vielen Unbestimmten.

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Algebra I by Dr. B. L. van der Waerden (auth.)


by Robert
4.3

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